Què representa la derivada?
Per a f(x)=x², la derivada és f’(x)=2x. En x=1 el pendent és 2; en x=3 és 6. La gràfica de f’(x) és un objecte diferent de la recta tangent a f en un punt: la primera mostra pendents en tots els punts, mentre que la segona toca la corba al punt que es mou.
Regles bàsiques
La derivada d’una constant és zero; la derivada de x^n és n·x^(n−1); i la derivada d’una suma és la suma de derivades. Per exemple, si f(x)=3x²+2x−5, aleshores f’(x)=6x+2. Cal distingir aquestes regles de les del producte, quocient i composició.
Fraccions, exponencials i logaritmes
En una funció racional com f(x)=1/x, derivem f’(x)=−1/x² en els punts del domini x≠0. En un model exponencial e^x la derivada coincideix amb e^x. Per al logaritme natural ln(x), la derivada és 1/x quan x>0. En funcions compostes s’aplica també la regla de la cadena.
Tutorials i problemes de disseny
Els 16 capítols recorren rectes, polinomis, fraccions, radicals, producte, quocient, regla de la cadena i optimització. Els alumnes escriuen derivades, revisen la tangent i interpreten magnituds en una situació real.
Preguntes freqüents
La derivada és la recta tangent?
No. La derivada en un punt és el pendent de la tangent, i la funció derivada dona aquest pendent per a cada x on existeix.
A quin curs es recomana?
A partir de 1r de batxillerat, amb activitats de reforç i ampliació al llarg de 2n.
Referències curriculars
Les activitats són una proposta didàctica independent, que pren com a referència els currículums de matemàtiques d’ESO i batxillerat de Catalunya. La distribució per curs és orientativa i pot dependre de la modalitat.
Currículum d'ESO · XTEC ↗ · Currículum de batxillerat · XTEC ↗